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In mwcwmatematica, una collezione di elementi rappresenta un mwdainsieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque elemento fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la mwdqteoria degli insiemi. Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: mwdgnumeri, mwdwlettere, mweapersone, mweqfigure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati.

• Generalità

• Descrizioni di insiemi

• Cardinalità

• Operazioni tra insiemi

• Relazioni tra insiemi

• L'insieme vuoto

• L'insieme delle parti

• La partizione di un insieme

• L'insieme complementare di un insieme

• Insiemi numerici

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il concetto di insieme è considerato mwfqprimitivo e mwfgintuitivo: mwfwprimitivo perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari; mwgaintuitivo perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di mwgqinsieme finito, che a sua volta è introdotta dall'analogia con l'mwggesperienza sensibile di scatole che contengono oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana.

Gli oggetti che compongono un insieme si dicono mwhaelementi di questo insieme; nel linguaggio matematico, detto mwhq a {\displaystyle {\displaystyle a}} un elemento dell'insieme mwhg A {\displaystyle {\displaystyle A}} , si dice che mwhw a {\displaystyle {\displaystyle a}} mwiaappartiene ad mwiq A {\displaystyle {\displaystyle A}} o in simboli mwig a ∈ ∈ A {\displaystyle {\displaystyle a\in A}} . Un insieme mwiw A {\displaystyle {\displaystyle A}} è mwjasottoinsieme di un altro insieme mwjq B {\displaystyle {\displaystyle B}} quando tutti gli elementi di mwjg A {\displaystyle {\displaystyle A}} appartengono anche a mwjw B {\displaystyle {\displaystyle B}} .

Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà:

• Un elemento può appartenere o non appartenere a un determinato insieme, non ci sono vie di mezzo (come accade invece per gli mwkwinsiemi sfocati);

• Un elemento non può comparire più di una volta in un insieme (mentre può comparire più volte in un mwlqmultiinsieme);

• Gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione (come invece accade alle componenti di un mwlwvettore o di una mwmaennupla);

• Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono mwmgse e solo se hanno gli stessi elementi.

Gli insiemi, con le loro operazioni e relazioni, possono essere rappresentati graficamente con i mwnadiagrammi di Eulero-Venn.

Solitamente un insieme viene indicato con le lettere maiuscole dell'alfabeto: mwnw A {\displaystyle {\displaystyle A}} , mwoa B {\displaystyle {\displaystyle B}} , mwoq E {\displaystyle {\displaystyle E}} , mwog M {\displaystyle {\displaystyle M}} , mwow S {\displaystyle {\displaystyle S}} ... e si chiede che sia univocamente determinato: se ad esempio diciamo che mwpa M {\displaystyle {\displaystyle M}} è lmwpq'mwpginsieme degli mwpw x {\displaystyle {\displaystyle x}} tali che mwqa x {\displaystyle {\displaystyle x}} è un mammifero marino, allora supponiamo che si sappia sempre decidere se un qualsiasi animale abbia o meno le caratteristiche necessarie per appartenere a mwqq M {\displaystyle {\displaystyle M}} mwqg. Se un oggetto mwqw x {\displaystyle {\displaystyle x}} appartiene ad un insieme mwra F {\displaystyle {\displaystyle F}} viene detto mwrqelemento di mwrg F {\displaystyle {\displaystyle F}} e la relazione si denota nella forma mwrw x ∈ ∈ F {\displaystyle x\in F} . Viceversa, la relazione di non appartenenza a un insieme si denota nella forma mwsa x ∉ ∉ F {\displaystyle x\notin F} .

Un insieme può essere definito nei seguenti modi:

• Per mwtaelencazione o in mwtqestensione: sono elencati gli elementi, in tal caso per convenzione si scrivono gli elementi tra parentesi graffe separati da virgole, ad esempio:

mwuamwuqmwug F = { rosa, giglio, geranio } . {\displaystyle F=\{{\mbox{rosa, giglio, geranio}}\}.}

Questa definizione si utilizza per gli insiemi finiti; per gli insiemi infiniti talvolta si usano puntini di sospensione laddove si ritiene che sia evidente il criterio secondo cui si individuano gli elementi non indicati; ad esempio: mwvamwvqmwvg P = { 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , … … } {\displaystyle P=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},\,\dots {}\right\}} .

• Per mwwqproprietà caratteristica o in mwwgcomprensione: come l'insieme degli oggetti che verificano una determinata proprietà mwww P {\displaystyle P} . In tal caso si usa la scrittura mwxa { x ∣ ∣ P ( x ) } {\displaystyle {\displaystyle \{x\mid P(x)\}}} dove al posto di mwxq P ( x ) {\displaystyle P(x)} può comparire la descrizione d'una proprietà. Es.mwxg : mwxw F = { x ∣ ∣ x è un fiore } {\displaystyle {\displaystyle F=\{x\mid x{\mbox{ è un fiore}}\}}} (mwya F {\displaystyle F} è definito come l'insieme degli mwyq x {\displaystyle {\displaystyle x}} tali che mwyg x {\displaystyle {\displaystyle x}} è un fiore), mwyw F = { x ∣ ∣ x = 1 n con n numero intero positivo } {\displaystyle F=\left\{x\mid x={\frac {1}{n}}{\mbox{ con }}n{\mbox{ numero intero positivo}}\right\}} .

La cardinalità di un insieme è il numero che indica la quantità dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme mwaa { a , b , c } {\displaystyle \{a,b,c\}} ha tre elementi (considerando distinte le tre lettere), quindi cardinalità 3; l'insieme dei mwaqnumeri naturali mwag N {\displaystyle \mathbb {N} } ha invece cardinalità mwaw ℵ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , il primo mwbacardinale infinito.

Un insieme si dice mwbgfinito se ha un numero finito di elementi, mwbwinfinito se contiene infiniti elementi.

Le principali mwhgoperazioni tra insiemi sono:

• Lmwiq'mwigmwiwunione di due insiemi mwja A {\displaystyle {\displaystyle A}} e mwjq B {\displaystyle {\displaystyle B}} : si indica con mwjg A ∪ ∪ B {\displaystyle A\cup B} ed è l'insieme formato da tutti gli elementi di mwjw A {\displaystyle {\displaystyle A}} o di mwka B {\displaystyle {\displaystyle B}} mwkqo di mwkgentrambi;

• Lmwlq'mwlgmwlwintersezione di due insiemi mwma A {\displaystyle {\displaystyle A}} e mwmq B {\displaystyle {\displaystyle B}} : si indica con mwmg A ∩ ∩ B {\displaystyle A\cap B} ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme mwmw A {\displaystyle {\displaystyle A}} che all'insieme mwna B {\displaystyle {\displaystyle B}} ;

• La mwnwmwoadifferenza tra mwoq B {\displaystyle {\displaystyle B}} e mwog A {\displaystyle {\displaystyle A}} si indica con mwow B ∖ ∖ A {\displaystyle B\setminus A} o con mwpa B ∖ ∖ A {\displaystyle {\displaystyle B\smallsetminus A}} oppure ancora con mwpq B − − A {\displaystyle B-A} ed è data dall'insieme formato dai soli elementi di mwpg B {\displaystyle {\displaystyle B}} che non appartengono ad mwpw A {\displaystyle {\displaystyle A}} . mwqa B ∖ ∖ A {\displaystyle B\setminus A} viene anche detto mwqqmwqginsieme complementare di mwqw A {\displaystyle {\displaystyle A}} in mwra B {\displaystyle {\displaystyle B}} ;

• La mwrwmwsadifferenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono ad mwsq A {\displaystyle {\displaystyle A}} e non a mwsg B {\displaystyle {\displaystyle B}} oppure che appartengono a mwsw B {\displaystyle {\displaystyle B}} e non ad mwta A {\displaystyle {\displaystyle A}} . Si indica con mwtq A △ △ B = ( A ∖ ∖ B ) ∪ ∪ ( B ∖ ∖ A ) {\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)} ;

• Il mwuamwuqprodotto cartesiano di due insiemi mwug A {\displaystyle {\displaystyle A}} e mwuw B {\displaystyle {\displaystyle B}} è l'insieme di tutte le possibili mwvacoppie ordinate mwvq ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} con mwvg a ∈ ∈ A {\displaystyle a\in A} e mwvw b ∈ ∈ B {\displaystyle b\in B} .

Due insiemi mwxa A {\displaystyle {\displaystyle A}} e mwxq B {\displaystyle {\displaystyle B}} si dicono inoltre:

• mwyaCoincidenti, se sono mwyqlo stesso insieme: questo si verifica se e solo se hanno gli stessi elementi;

• mwywmwzaDisgiunti, se non hanno nessun elemento in comune.

mwzg B {\displaystyle {\displaystyle B}} è mwzwsottoinsieme di mw0a A {\displaystyle {\displaystyle A}} se mw0q A {\displaystyle {\displaystyle A}} contiene gli elementi di mw0g B {\displaystyle {\displaystyle B}} . Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione:

mw1q B ⊆ ⊆ A . {\displaystyle B\subseteq A.}

Se si vuole escludere che mw1w B {\displaystyle {\displaystyle B}} coincida con mw2a A {\displaystyle {\displaystyle A}} , cioè prevedere che esistono elementi di mw2q A {\displaystyle {\displaystyle A}} non contenuti in mw2g B {\displaystyle {\displaystyle B}} , si usa la notazione:

mw3q B ⊂ ⊂ A {\displaystyle B\subset A}

che si legge: "mw3w B {\displaystyle {\displaystyle B}} mw4aè un sottoinsieme proprio di mw4q A {\displaystyle {\displaystyle A}} " oppure "mw4g B {\displaystyle {\displaystyle B}} mw4wè mw5aincluso propriamente in mw5q A {\displaystyle {\displaystyle A}} " oppure "mw5g B {\displaystyle {\displaystyle B}} mw5wè contenuto propriamente in mw6a A {\displaystyle {\displaystyle A}} ". Alcuni autori utilizzano solo la seconda notazione, indipendentemente dal tipo di inclusione.

La mw6grelazione binaria di inclusione tra insiemi rende una qualsiasi classe di insiemi un mw6winsieme parzialmente ordinato.

mw8aInsieme vuoto è l'insieme che non contiene mw8qnessun elemento. Si indica con i simboli mw8g ∅ ∅ {\displaystyle \varnothing } , mw8w ∅ ∅ {\displaystyle \emptyset } o con due parentesi graffe, la prima aperta e l'altra chiusa mw9a { } {\displaystyle \left\{\right\}} .

L'insieme vuoto è mw9gsottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).

Per qualunque insieme mw-w A {\displaystyle {\displaystyle A}} si definisce insieme delle parti o "insieme potenza" di mw-a A {\displaystyle {\displaystyle A}} e si indica con mw-q P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} o mw-g 2 A {\displaystyle 2^{A}} l'insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di mw-w A {\displaystyle {\displaystyle A}} . Ad esempio, se mwaqa A = { a , b , c } {\displaystyle A=\left\{a,b,c\right\}} allora il suo insieme delle parti è costituito da mwaqe P ( A ) = { ∅ ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , A } {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},A\}} .

L'insieme delle parti ha mwaqmcardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme di partenza. Se mwaqq A {\displaystyle {\displaystyle A}} è finito e ha mwaqu | A | {\displaystyle {\displaystyle |A|}} elementi, il numero degli elementi di mwaqy P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} è dato da mwaqc 2 | A | {\displaystyle 2^{|A|}} (in simboli, mwaqg | P ( A ) | = | 2 A | = 2 | A | {\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|=|2^{A}|=2^{|A|}} ).

L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, considerato congiuntamente all'operazione di differenza simmetrica, forma un mwaqogruppo abeliano. Se vengono considerate insieme unione, intersezione e complementazione la struttura generata è un'mwaqsalgebra di Boole.

Si chiama partizione dell'insieme mwaq4 A {\displaystyle A} un insieme di sottoinsiemi di mwaq8 A {\displaystyle A} che ha queste caratteristiche:

• ogni sottoinsieme non è vuoto;

• tutti i sottoinsiemi sono disgiunti tra loro;

• l'unione di tutti i sottoinsiemi è mwarq A . {\displaystyle A.}

Dati gli insiemi mwarc A {\displaystyle A} e mwarg B , {\displaystyle B,} con mwark B ⊆ ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} , l'insieme complementare di mwaro B {\displaystyle B} rispetto ad mwars A {\displaystyle A} è mwarw A ∖ ∖ B {\displaystyle {\displaystyle A\smallsetminus B}} Lo indichiamo con mwar0 C A ( B ) . {\displaystyle {\displaystyle C_{A}(B).}}

Alcuni insiemi, detti mwasunumerici, hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:

• L'insieme mwasg N {\displaystyle \mathbb {N} } dei mwasknumeri naturali.

• L'insieme mwass Z {\displaystyle \mathbb {Z} } dei mwaswnumeri interi.

• L'insieme mwas4 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dei mwas8numeri razionali.

• L'insieme mwate R {\displaystyle \mathbb {R} } dei mwatinumeri reali.

• L'insieme mwatq C {\displaystyle \mathbb {C} } dei mwatunumeri complessi.

Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell'altro:

mwatk N ⊂ ⊂ Z ⊂ ⊂ Q ⊂ ⊂ R ⊂ ⊂ C . {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}

Più propriamente si dovrebbe parlare di mwatsimmersione di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l'uno dall'altro. Dunque non si può dire che mwatw N {\displaystyle \mathbb {N} } sia contenuto in mwat0 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , ma che vi sia una mwat4funzione iniettiva da mwat8 N {\displaystyle \mathbb {N} } a mwaua Z {\displaystyle \mathbb {Z} } .

• citereflangSerge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992.

• mwaugSeymour Lipschutz, Topologia, Sonzogno, Etas Libri, 1979.

• mwauo(EN) Paul Halmos (1960): mwausNaive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.

• mwau4(FR) mwau8Nicolas Bourbaki (1968): mwavaThéorie des ensembles, Hermann.

• mwavqTeoria degli insiemi

• mwavyTeoria ingenua degli insiemi

• mwavgTeoria assiomatica degli insiemi

• mwavoSet (informatica)

Altri progetti

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• citereftreccani-itinsieme, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefvocabolario-treccaniinsième, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefsapere-itinsième, su sapere.it, De Agostini.

• citerefbritannica-com(EN) set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Set, su MathWorld, Wolfram Research.